| 1. | Orthogonal coordinates are a special but extremely common case of curvilinear coordinates.
Le système de coordonnées orthogonales est un cas particulier mais très courant des systèmes de coordonnées curvilignes. |
| 2. | Orthogonal coordinates never have off-diagonal terms in their metric tensor.
Les coordonnées orthogonales ne présentent jamais de termes non nuls en dehors de la diagonale dans leur tenseur métrique. |
| 3. | What distinguishes orthogonal coordinates is that, though the basis vectors vary, they are always orthogonal with respect to each other.
Ce qui caractérise les coordonnées orthogonales est que ces vecteurs de base sont toujours orthogonaux entre eux en tout point de l'espace. |
| 4. | More general orthogonal coordinates may be obtained by starting with some necessary coordinate surfaces and considering their orthogonal trajectories.
Une manière plus générale d'obtenir un système de coordonnées orthogonales consiste à partir des surfaces à coordonnées constantes puis à construire les trajectoires orthogonales (en) associées. |
| 5. | The reason to prefer orthogonal coordinates instead of general curvilinear coordinates is simplicity: many complications arise when coordinates are not orthogonal.
Les systèmes de coordonnées orthogonales sont préférés aux coordonnées curvilignes pour leur simplicité : de nombreuses complications techniques apparaissent lorsque les coordonnées ne sont pas orthogonales. |
| 6. | When F = 0 in the metric, lines parallel to the x- and y-axes are orthogonal and provide orthogonal coordinates.
Lorsque le coefficient F de la métrique est nul, les parallèles aux axes des x et des y sont orthogonales et construisent un système de coordonnées orthogonales. |
| 7. | Orthogonal coordinates in three and higher dimensions can be generated from an orthogonal two-dimensional coordinate system, either by projecting it into a new dimension (cylindrical coordinates) or by rotating the two-dimensional system about one of its symmetry axes.
On peut créer un système de coordonnées orthogonales en 3 dimensions et plus à partir d'un système de coordonnées orthogonales en 2 dimensions que l'on prolonge dans une nouvelle dimension (par exemple les coordonnées cylindriques) ou par rotation du système 2D autour d'un axe de symétrie. |
| 8. | Note that: e ^ i = e i h i = h i e i = e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}={\hat {\mathbf {e} }}^{i}} We now face three different basis sets commonly used to describe vectors in orthogonal coordinates: the covariant basis ei, the contravariant basis ei, and the normalized basis êi.
On peut remarquer que : e ^ i = e i h i = h i e i = e ^ i . |
| 9. | While vector operations and physical laws are normally easiest to derive in Cartesian coordinates, non-Cartesian orthogonal coordinates are often used instead for the solution of various problems, especially boundary value problems, such as those arising in field theories of quantum mechanics, fluid flow, electrodynamics and the diffusion of chemical species or heat.
Alors que les opérations vectorielles et les lois physiques sont usuellement plus facile à exprimer en coordonnées cartésiennes, les coordonnées orthogonales non cartésiennes sont souvent préférées lorsque la géométrie du problème permet de résoudre plus facilement un problème comme les problèmes aux limites (résolution d'équation aux dérivées partielles) que l'on rencontre en mécanique quantique, mécanique des fluides, électromagnétisme, diffusion d'espèces chimiques ou encore pour la résolution de l'équation de la chaleur. |
